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フェルマーの最終定理

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社会人さん
22/08/27 12:38(更新日時)

フェルマーの最終定理の簡易別証明
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a^n+b^n=c^n(n>=3)は整数解をもたない。
これをフェルマーの最終定理定理という。
このことを背理法で証明してみる。
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a^n+b^n=c^nが成り立つと仮定する。--------背理法の仮定
両辺をc^nで割ると
(a/c)^n+(b/c)^n=(c/c)^n=1-------①となる。
ここでn--->∞とする。
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a,b,cの大小関係で場合分けをする。
1)a>b>cの場合
①でn--->∞とすると
左辺=∞+∞=∞,右辺=1となって矛盾。
2)a>c>bの場合
①でn--->∞とすると
左辺=∞+0=∞,右辺=1となって矛盾。
3)b>a>cの場合
①でn--->∞とすると
左辺=∞+∞=∞,右辺=1となって矛盾。
4)b>c>aの場合
①でn--->∞とすると
左辺=0+∞=∞,右辺=1となって矛盾。
5)c>a>bの場合
①でn--->∞とすると
左辺=0+0=0,右辺=1となって矛盾。
6)c>b>aの場合
①でn--->∞とすると
左辺=0+0=0,右辺=1となって矛盾。
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いずれの場合も矛盾が発生する。
これは背理法の仮定が間違っていたからである。
よってa^n+b^n=c^nを満たす整数解は存在しない。
(証明終わり)