解らない人はスルーしてください

まぁ俺に解けるわけないが、ナポリタンが高速移動していないという事を証明できたので考察をかくぞ
まず「なぜナポリタンは赤いのだろうか」という問いである。
「赤いから赤いのだ」などとトートロジーを並べて悦に入る浅薄な人間もいるが、
それは思考停止に他ならず、知性の敗北以外なにものでもない。
「赤方偏移」という現象がある。
宇宙空間において、地球から高速に遠ざかる天体ほどドップラー効果により、
そのスペクトル線が赤色の方に遷移するという現象である。
つまり、本来のナポリタンが何色であろうとも、ナポリタンが我々から
高速で遠ざかっているとすれば、毒々しく赤く見えるはずなのだ。
目の前のナポリタンは高速で動いているか否か？
それはナポリタンの反対側に回ってみることでわかる。
運動の逆方向から観察することで、スペクトルは青方遷移し、
青く見えるはずなのだ。
逆に回ってみたところ、ナポリタンは赤かった。
よってこのナポリタンは高速移動をしていないと言える。

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>> 1 ？意味が解りません。

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あげます。

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位相空間論か‥こいつは全ての数学の基礎になってるとゆっても過言じゃねぇ！

数学で一番難しいとゆわれてんだが、こいつは苦労してでも極める価値がある！

なんせ、数学をより理解する上でこれほど優れた学問はねぇだろうし、なにより楽しいwwww

こいつで身に付いた論理的思考‥この分野を極めりゃ日常生活の何にでも幅広く応用できっからなww

さぁおっ始めるか？ヤンキー数学をよwww

まずこの(1)⇒(2)の証明なんだが、Aの任意の点列〔xi〕を考えりゃいい！

有限型なら条件とは無関係に収束する部分列をもつ訳だから、無限型の場合を考察する

〔xi〕をAの点列として、〔xi〕が有界型なら〔xi〕はAの点に収束する部分列をもつ！

よって、〔xi〕は無限型としていい！ここまでは良いか？で、集合B={xi¦i∈Ｎ}はAの無限部分集合だから、Bは少なくとも1つの集積点を持つわな？

んで、その内の一つをαとして、任意のi∈Ｎについて、N(α;1/i)∩B≠∅であるから、各i∈Ｎについて1点
xι(i)∈N(α;1/i)∩Bをι(i)＜ι(i+1)
となるよーに選ぶ！

んな感じで得られた部分列〔xι(i)〕は点αに収束すんだが、Aの点列〔xi〕が点α∈Xに収束するとき、Aは閉集合であるからα∈Aである！

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(2)⇒(3)の証明については、〔xi〕をAの任意のコーシー列とする！条件(2)よりAの点に収束する部分〔xι(i)〕が存在する‥はえー話、xι(i)→α(i→∞),α∈Aとする

定理として(x,d)を距離空間とし、A⊂Xとした場合、Aの集積点はAの〈無限型〉点列の極限点‥つまり

A^d={x∈X¦∃〈無限型〉点列〔xi〕(∀i∈Ｎ(xi∈A,xi→x(i→∞)))}
が成り立つから、∀ε＞0に対して基本列の定義より、N∈Ｎが存在して

∀m∈Ｎ,∀n∈Ｎ,m≧N,n≧N⇒d(xm,xn)≦ε/2

一方、xι(i)→α(i→∞)より、M∈Ｎが存在して

∀j∈Ｎ,ι(j)＞M＞N⇒d(xι(j),α)＜ε/2を満たす！

よって、∀k∈Ｎについてk≧Mならk≧M＞Nであるから

d(xk,α)≦d(xk,xM)+d(xm,α)＜εが成り立つ

したがって、xi→α(i→∞)である！よって、(A,dA)は完備であることが解ったな？

次にAが全有界であることを背理法で証明するんだが、Aが全有界じゃねぇとすると、δ＞0が存在して、Aは直径が2δより小させぇ集合の有限個では被覆できねぇ！

このとき1点x1∈Aを選びゃ、点x2∈A-N(x1;δ)を選ぶことができんだが、この操作を反復してAの点列〔xi〕を

xi+2∈A-{N(x1;δ)∪N(x2;δ)∪…∪N(xi;δ)}

てな具合に選び、このとき

d(xj,xk)≧δ(j≠k)であるから、点列〔xi〕は収束する部分列をもたねぇ！こいつは条件(2)に反する

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3)⇒(1)の証明も背理法を用いる！

Aの開被覆Сで有限部分被覆をもたねぇもんが存在したと仮定する

Aが全有界であるから、(ε=)1/2に対しX部分集合B_{1}^{1},B_{m(1)}^{1}が存在して

B_{1}^{1}∪B_{2}^{1}…∪B_{m(1)}^{1}⊃A, diam(B_{j}^{1}＜1/2 (1≦j≦m(1))を満たす！

するとB_{1}^{1}∪B_{2}^{1},…∪B_{m(1)}^{1}

の中にゃ少なくとも１つ、Сの有限個の元では被覆できねぇものがある！

つまり、こいつをB_{1}^{1}とする

まぁ‥B_{1}^{1}∩A≠∅と仮定しても良いが、B_{1}^{1}も全有界だから(ε=)1/2^2に対し、B_{1}^{1}の部分集合

B_{1}^{2},B_{2}^{2},…,B_{m(2)}^{2}が存在して

B_{1}^{2}∪B_{2}^{2}∪…∪B{m(2)}^{2}⊃B_{1}^{1}, diam(b_{j}^{2}＜1/2^2 (1≦j≦m(2))

を満たす

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すると、B_{1}^{2},B_{2}^{2}…B_{m(2)}^2}

の中にゃ少なくとも１つ、Сの有限個の元では被覆できねぇもんがあり、こいつをB_{1}^{2}とおく

B_{1}^{2}∩A≠∅,B_{1}^{2}∩B_{2}^{1}≠∅と仮定してもいい

B_{1}^{2}∩B_{1}^{1}を改めB_{1}^{2}とおき、この操作を反復することにより、Xの部分集合の列

B_{1}^{1}⊃B_{1}^{2}⊃B_{1}^{3}⊃…⊃B_{1}^{k}⊃B_{2}^{k+1}⊃…

が得られ、作り方から

(イ)diam(B_{1}^{k}＜1/2^k (k=1,2,3…)

(ロ)B_{1}^{k}はСの有限個の元では被覆できねぇ

(ハ)B_{1}^{k}∩A≠∅

を満たすから、ここで点xk∈B_{1}^{k}∩Aを選びゃ、

{xi¦i≧k}⊂B_{1}^{k}が成り立つ！よって、点列〔xi〕は基本列である

仮定から(A,dA)は完備であるからα∈Aが存在して、xi→α(i→∞)である！

で、СはAの開被覆であるから、U∈Сが存在してα∈Uとなる！

となると、N∈Ｎが存在して、N(α;1/2^N)⊂Uが成り立つ！

んで、点列〔xi〕αに収束することから、n＞Nが存在して、xn∈N(α;1/2^N+1)が成り立ち、よって、任意のα∈B_{1}^{n}について

d(a,α)≦d(a,xn)+d(xn,α)＜diam(B_{1}^{n})+1/2^N+1＜1/2^Nが成り立ち

B_{1}^{n}⊂N(α;1/2^N)⊂Uが成立し、B_{1}^{n}の選び方(ロ)に矛盾する！

(1)～(3)の証明おわり！！

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最後の(4)だが、まず、Ｒ^2,Ｓ^1,Ｒ^1,I=[0,1]におけるそれぞれの点のε-近傍を、それぞれN2, NS, N1, NI で表す

Сs={Ns(s;1)¦s∈Ｓ^1} はＳ^1の開被覆で、u:[0,1]→Ｓ^1は連続写像だから、
開集合による連続写像の特徴から、u^-1(NS(s;1))は[0,1]の開集合であり、特にu([0,1])→Ｓ^1は連続写像だから

СI={u^-1(NS(s;1))¦NS(s;1)∈Сs}は[0,1]の開被覆であり、閉区間[0,1]はコンパクトであるから、開被覆СIに関するルーベルグ数δ=δ(СI)＞0が定まる

で、十分にデカい自然数nを1/n＜δとなるように選び、[0,1]を

[0,1]=[0,1/n]∪[1/n,2/n]∪…∪[(i-1)/n,i/n]∪…∪[(n-1)/n,n/n]てな具合にn等分すりゃ

diam([(i-1)/n,i/n])=1/n＜δ(i=1,2…,n)であるから

u^-1(NS(si;1))∈СIが存在して[(i-1)/n,i/n]⊂u^-1(NＳ(si;2))となる！

u¦[(i-1)/n,i/n]=uiとおくと、制限写像の定義によりui : [(i-1)/n,i/n]→Ｓ^1は連続写像であり

u1(0)=u(0)=e1,ui(i/n)=ui+1(i/n),un(1)=u(1)=e1,ui([(i-1)/n,i/n])⊂NS(si;1);i=1,2,…nを満たしてる！

ここでUi=NS(si;1)(i=1,2,…,nとおく

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Uiは点siを中心とする120°の開円弧であるから、cosとsin関数の周期性によりp^-1(si)はＲ^1上で1の間隔で可算無限個の点が現れる！

(実際、tiをp^-1(si)の一点とすりゃ、p^-1(si)={ti+k¦k∈Ζ}になんだろ？)

したがって、p^-1(Ui)は可算個の開区間Vik=(ti+k-1/6,ti+k+1/6となる

こんときpの制限写像p¦Vik:Vik→Uiは全単射で連続であり、さらにこの逆写像pの制限写像

(p¦Vik)^-1 : Ui→Vikも連続であるから、そこで各i=1,2…nについて

写像wi : [(i-1)/n,i/n)]→Ｒ^1を帰納的に

U1∋e1=u1(0)であるから、p^-1(u1(0))∋０(Ｒ^1の原点)、p^-1(U1)の連続成分のうちで０を含むもんをV1とし、w1=(p¦V1)^-1o ui

と定め、合成写像の連続性からw1は連続！

一般にwi : [(i-1)/n,i/n)]→Ｒ^1が定義されたとき、wi+1 : [i/n,(i+1)/n]→Ｒ^1を

ui(i/n)=ui+1(i/n)であるから、点wi(i/n)=(p¦Vi)^-1o ui(i/n)=(p¦Vi)^-1(ri)を含むよーなp^-1(Ui+1)の連続成分が存在すっから、こいつをVi+1として、wi+1=(p¦Vi+1)^-1o ui+1と定める！

[(i-1)/n,i/n] , [i/n,(i+1)/n]は閉集合でwiとwi+1は

共通点[(i-1)/n,i/n]∩[i/n,(i+1)/n={i/n}で一致すっからその共通の拡張も連続であり

w1,w2,…,wnの共通の拡張を順次作り、そいつをw : [0,1]→Ｒ^1とすりゃ、作り方から条件pow=uを満たす！

これにてヤンキー数学終わり！

パラパ パラパラ パラパパパ～♪♪♪♪

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お久しぶりです。
以前は量子論で原子核について回答頂き助かりました。今回の質問内容は数日前のものなのですが、今日ここでぎゃり～さんのレスを見掛けたので、再度スレをあげてみたのですが、期待通りと言うか運が良かったというか、兎も角またこうして回答を頂き、悦ばしい限りです。

回答にある証明のやり方も遺漏無く丁寧な仕上がりかと思われますが、私の能力不足なのでしょうが、予想以上に難解で全てを理解するに至りませんでした。
そこで解らない部分について幾つか質問させて頂きたいのですが、宜しいでしょうか？

>u¦[(i-1)/n,i/n]=uiとおくと、制限写像の定義によりui : [(i-1)/n,i/n]→Ｓ^1は連続写像であり

御手数を御掛けして申し訳ありませんが、差し当たってはこの行について、もう少し詳しい説明があれば助かります。
よろしくお願いしますm(__)m

• << 13 なるほど、じゃあまず問題に沿って距離空間の定義をザックリ放すが、(x,d)を距離空間とするとき、部分集合A⊂X,A≠∅,に対して dA:A×A→Ｒ^1; dA(a,d)=(a,b) で定義される関数dAは自然にA上の距離関数になんだが、んな具合に定められた距離空間(A,dA)を距離空間(X,d)の部分空間というんだが、ここまでは良いか？ じゃあ次に、 距離空間上の連続写像について軽く説明いれとくが、ユークリッド空間の場合にならって距離空間上の連続写像を定義すりゃ、(X,dx),(Y,dy)を距離空間とし、写像f : X→Yが点a∈Xで連続であるとは、次のみ命題(＊＊)が成り立つ場合であると定義する！ (＊＊) ∀ε＞0,∃δ＞0(∀x∈X,dx(x,a))＜δ⇒dy(f(a))＜ε) この定義は近傍を使って (＊＊＊) ∀ε＞0(f(N(a;δ))⊂N(f(a);ε)) と言い換えることができんだが、ここで近傍を示すのに同じNを用いてんだけど、前のNは勿論Xでの近傍で、後のNは当然Yの近傍であるのを間違えんよーに！ で、写像f : X→Yが全ての点a∈Xで連続であるとき、fは(X,dx)で(距離dxとdyに関して)連続である、或いは(X,dx)上の連続写像であるとゆー！ 次に開集合による連続写像の特徴付けとして、(X,d),(Y,d')を距離空間としてf:X→Yを写像としたとき、 ① fはX上の連続写像である ② Yは任意の開集合Uについて、fによるUの逆像f^-1(U)はXの開集合である つまり∀U∈О'_d(Y)(f^-1(U)∈О_d(X)) ③ Yの任意の閉集合Fについて、fによるFの逆像f-1(F)はXの閉集合である つまり∀F∈А'_d(Y)(f-1(F)∈А_d(X)) この３つが同値となる！

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まさか、ユークリッド幾何学まで分かるとは……ぎゃりーさん、リアルで数学科の教授でもやっているんだろうか？😓

数日前に初めてこのスレッドを見た時、気になってウィキやら数学の専門的な内容を扱うサイトやら見てみたけど、記号からして全く分からなかった😲

【参考】
http://rikei-index.blue.coocan.jp/isou-index.html

ここの第２章(Ｂ)に、それっぽい事がたくさん書かれていたけど……手も足も出ない😣

• << 15 俺が教授？ んな大それたもんではねぇが、俺もそー捨てたもんではねぇだろ？ww あんたと同じで、数学が好きで気がついたらここまで来てた‥それだけの話よw しかし…数学を突き詰めて突き詰めた先が、まさかまさかの『数学の基礎』だったとは、流石に俺も驚いたがなww それまで積み上げたもんが、まさか基礎を理解する為の訓練だったとはなww 始まってすらいなかったんだからなww 数学は実生活で役に立つか？ よく聞く話だがよ、そいつらは数学にすら辿り着いてねぇ事にすら気がついてねぇ、数学がなんなのか？その正体すら知らねぇことだろーよwww 難解な方程式を知り難しい演算が出来りゃすげーわけでも偉いわけでもねぇが、数学がなんなのか？本質的な事を知り、俺同様に数学を楽しんでいるあんたなら、必ずここに辿り付ける！ 数学てな、楽しむものだwww 楽しんでなんぼだろwww それが数学だwww
• << 16 こんにちは。 この問題に興味をもってくれた上に色々と調べて頂きありがとうございました。 そちらのリンク先も是非とも参考にさせてもらいます。 匿名さんも理系の方ですか？私も論理と集合までは分かるのですが、ユークリッド幾何学的ともなるとやはり難しいですよね…。 覚えるべき公理の数も多すぎて、その全てを理解するとなるととても一筋縄では行きそうにありません。 そんな問題にも答えてくれるぎゃり～さんは頼もしい限りですが、匿名11さんが思われる様、何者なのか気になってしまいますよね……。

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>> 10 お久しぶりです。 以前は量子論で原子核について回答頂き助かりました。今回の質問内容は数日前のものなのですが、今日ここでぎゃり～さんのレスを… なるほど、じゃあまず問題に沿って距離空間の定義をザックリ放すが、(x,d)を距離空間とするとき、部分集合A⊂X,A≠∅,に対して

dA:A×A→Ｒ^1; dA(a,d)=(a,b)

で定義される関数dAは自然にA上の距離関数になんだが、んな具合に定められた距離空間(A,dA)を距離空間(X,d)の部分空間というんだが、ここまでは良いか？

じゃあ次に、 距離空間上の連続写像について軽く説明いれとくが、ユークリッド空間の場合にならって距離空間上の連続写像を定義すりゃ、(X,dx),(Y,dy)を距離空間とし、写像f : X→Yが点a∈Xで連続であるとは、次のみ命題(＊＊)が成り立つ場合であると定義する！

(＊＊) ∀ε＞0,∃δ＞0(∀x∈X,dx(x,a))＜δ⇒dy(f(a))＜ε)

この定義は近傍を使って

(＊＊＊) ∀ε＞0(f(N(a;δ))⊂N(f(a);ε))

と言い換えることができんだが、ここで近傍を示すのに同じNを用いてんだけど、前のNは勿論Xでの近傍で、後のNは当然Yの近傍であるのを間違えんよーに！

で、写像f : X→Yが全ての点a∈Xで連続であるとき、fは(X,dx)で(距離dxとdyに関して)連続である、或いは(X,dx)上の連続写像であるとゆー！

次に開集合による連続写像の特徴付けとして、(X,d),(Y,d')を距離空間としてf:X→Yを写像としたとき、

① fはX上の連続写像である

② Yは任意の開集合Uについて、fによるUの逆像f^-1(U)はXの開集合である

つまり∀U∈О'_d(Y)(f^-1(U)∈О_d(X))

③ Yの任意の閉集合Fについて、fによるFの逆像f-1(F)はXの閉集合である

つまり∀F∈А'_d(Y)(f-1(F)∈А_d(X))

この３つが同値となる！

• << 17 詳しく説明頂きありがとうございます。 正直な話、ここで位相空間についてここまで詳しくに説明できる人に会えた事に驚いております。 私自身まだぎゃり～さんが説明してくれた連続写像の特徴付けを証明できるまでは至りませんが、朧気ながらなにかが見えてきました。 まだまだ聞きたいことは山ほどあるのですが、一度集合と理論の初歩に戻り、順繰り一つ一つ理解して行くつもりです。

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前レスにある説明を踏まえて質問の答え‥つまりは連続写像の制限写像は連続であることを説明するが、(X,d),(Y,d')を距離空間とし、A⊂Xを部分集合集合とする

写像f : (X,d)→(Y,d')が連続なら

制限写像f¦A:(A,d_A)→(Y,d')も連続写像なんだが

U⊂Yを開集合とすりゃ、制限写像の定義から

(f¦A)^-1(U)=f^-1(U)∩Aが成り立つだろ？

んでfが連続であるから、さっき話した開集合による連続写像の特徴付けより、f^-1(U)はXの開集合であることが解るな？

さらに部分距離空間(A,d_A)の定義からf^-1(U)∩AはAの閉集合であることも解るはず！

したがって、再び開集合による連続写像の特徴付けにより、写像f¦Aは連続であるてことよ！

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>> 12 まさか、ユークリッド幾何学まで分かるとは……ぎゃりーさん、リアルで数学科の教授でもやっているんだろうか？😓 数日前に初めてこのスレッド… 俺が教授？

んな大それたもんではねぇが、俺もそー捨てたもんではねぇだろ？ww

あんたと同じで、数学が好きで気がついたらここまで来てた‥それだけの話よw

しかし…数学を突き詰めて突き詰めた先が、まさかまさかの『数学の基礎』だったとは、流石に俺も驚いたがなww

それまで積み上げたもんが、まさか基礎を理解する為の訓練だったとはなww

始まってすらいなかったんだからなww

数学は実生活で役に立つか？

よく聞く話だがよ、そいつらは数学にすら辿り着いてねぇ事にすら気がついてねぇ、数学がなんなのか？その正体すら知らねぇことだろーよwww

難解な方程式を知り難しい演算が出来りゃすげーわけでも偉いわけでもねぇが、数学がなんなのか？本質的な事を知り、俺同様に数学を楽しんでいるあんたなら、必ずここに辿り付ける！

数学てな、楽しむものだwww

楽しんでなんぼだろwww

それが数学だwww

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>> 12 まさか、ユークリッド幾何学まで分かるとは……ぎゃりーさん、リアルで数学科の教授でもやっているんだろうか？😓 数日前に初めてこのスレッド… こんにちは。

この問題に興味をもってくれた上に色々と調べて頂きありがとうございました。
そちらのリンク先も是非とも参考にさせてもらいます。
匿名さんも理系の方ですか？私も論理と集合までは分かるのですが、ユークリッド幾何学的ともなるとやはり難しいですよね…。

覚えるべき公理の数も多すぎて、その全てを理解するとなるととても一筋縄では行きそうにありません。
そんな問題にも答えてくれるぎゃり～さんは頼もしい限りですが、匿名11さんが思われる様、何者なのか気になってしまいますよね……。

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>> 13 なるほど、じゃあまず問題に沿って距離空間の定義をザックリ放すが、(x,d)を距離空間とするとき、部分集合A⊂X,A≠∅,に対して dA… 詳しく説明頂きありがとうございます。
正直な話、ここで位相空間についてここまで詳しくに説明できる人に会えた事に驚いております。
私自身まだぎゃり～さんが説明してくれた連続写像の特徴付けを証明できるまでは至りませんが、朧気ながらなにかが見えてきました。
まだまだ聞きたいことは山ほどあるのですが、一度集合と理論の初歩に戻り、順繰り一つ一つ理解して行くつもりです。

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>> 17 デデキント切断にカントールの区間縮小定理、上限、単調有界数列の収束にワイアシュトラウス…覚えるべきもんは山ほどあるが、ゆってしまえばこれらは互いに同値だからな！

上記に書いた公理を比べりゃ一見して同値らしきもんと、そーじゃねぇもんも存在するが、それぞれに有効で状況に応じ使い分けが可能だ

つまり、ここいらを完璧に理解し、証明さえできりゃ後々詰まることもねぇし、嵌まることもねぇ！

朧気ながら理解するのではなく、先ずは何が何でもここをガッチリと押さえとくことだ

そうすりゃ、小学校から今まで習ってきた全て、『数学そのものの全貌』が見えてくる筈だ

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うええ〜
o(｀ω´ )o

ユークリッド？
ダスキンの新商品の名前？

天才の集まるスレなのか。ここは…

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このぎゃりーとか言う男・・・シャレにならんな

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すごすぎる…

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