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この問題解けますか？

No.13　17/02/15 23:35
ぎゃり～ばびゅばびゅ ( 30代 ♂ jHa6Sb ) あ+あ-

次ゃ(2)だな！

中心力場について説明すんが、万有引力の法則を使って太陽系を構成してる惑星の運動を考えりゃ、惑星の間にゃ万有引力が働き互いに影響し合ってんのが判んだろ？

その太陽系じゃ太陽の質量がずば抜けてデカく、惑星の質量はちいせぇから、惑星の万有引力ぁ無視して、一つの惑星と太陽の2体問題解く事を考えりゃ良い！

手短にザックリしか説明しねぇが、2体問題てな質量がm_1とm_2の２つの質点があんだが、今後、それぞれの質点を質点m_1、m_2と呼ばせてもらうがよ、２つの質点の間にゃ、うpした図のよーに力が働いてんだが、それいげーの力は働いてねぇもんとする

２つの質点の運動方程式ぁ

m_1(d^{2}r_1/dt^2)=F12…①

m_2(d^{2}r_2/dt^2)=F_21=-F_12…②

になんだが、②の右の等式ぁ作用反作用の法則を示してて、ここで

rG=m_1r_1+m_2r_2/m_1+m_2 r=r_2-r_1

によって定義され、rGとrを導入すりゃ
①～②から

d^{2}rG/dt^2=0…③

μ(d^{2}r/dt^2)=F_21(r) 1/μ=1/m_1+1/m_2…④

っつー互いに独立な微分方程式が導かれ、この２つを別々に解きゃいい！

因みに④を導くときに、一般に質点の間に働く力ぁ両質点の座標の差にのみ依存し、F_12(r_1-r_2)っつー関数形をもつことを使ってる

rGの位置にある点を２つの質点の重心、重心座標っつって、③の式ぁ２つの質点の間に力が働いてよーがなんだろーが、その重心はそれらの力に関係なく等速運動することを意味してる

rは質点m_1から見た質点m_2の『相互座標』っつー意味を持ち、④はこの相対運動が質量μの1個の質点と同じ運動であることを意味してて、μは変換質量と呼ばれる！

で、中心力場に話を戻すが上記を踏まえた上で質点m_2が太陽m_1が考える惑星だとすりゃ、太陽の周りを回るその惑星運動の方程式ぁ④の左の式の右辺に万有引力の表式を代入し

μ(d^{2}r/dt^3)=G(m_1m_2/r^2)r/r…⑤

てな具合に与えられる！

ただしだ、rぁ飽くまで太陽から見た惑星の相対座標で、μはm_1とn_2を表す！

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