数学の証明問題についての質問です
自然数a,b,cが
3a=b^3,5a=c^2
を満たし、d^6がaを割り切るような自然数dはd=1に限るとする。
(1)aは3と5で割り切れることを示せ。
(2)aの素因数は3と5以外にないことを示せ。
(3)aを求めよ。
となってるんですが、問題文に書かれている「d^6がaを割り切るような自然数dはd=1に限るとする」がなんなのか全く意味が解りません。
もともと証明問題はあまり得意ではないので、その上でこのような問題を出題され、何も出来ずにただただ呆然と眺めてるだけです。
どなたか、せめてこの問題を解けるヒントだけでも良いので、ご教授お願いします。
何も出来ないで‥っておめぇ、それじゃまるで高木ブーじゃねぇかwwww
いやいや、わりわりww
ふむふむ、なる程こいつぁ『素因数分解の一意性』がテーマの問題だな
3a=b^3、5a=c^2
問題にある↑見りゃ判ると思うが、それぞれ右辺は3乗、2乗の形だから、aの素因数についても3乗、2乗の形で現れることを見抜かなきゃならねぇ!
そして、おめーが疑問に思ってる文言は何を意味してんのか?
それら全ての謎を解き明かす為、一発ヤンキー数学でも炸裂させっかん、世露死苦!!
まずは(1) 3a=b^3より、bは3の倍数だから
b=3b′(b′は自然数 ) と書ける
ゆえに
3a=(3b′)^3⇔a=9b′^3
よって、aは3の倍数である
5a=c^3よりcは5の倍数だから、同様に
c=5c′(c′は自然数)
と書け、ゆえに
5a=(5c′)^2⇔a=5c′^2
よってaは5の倍数であり、したがって
aは3と5で割り切れる
証明終わり!
おらおらぁ次、
(2) aが3と5以外の素因数pをもつとすると、
3a=b^3
より、aは(p^3)^hの形で素因数をもち、
5a=c^2
より、aは(p^2)^iの形で素因数をもつ
つまり、aは(p^6)^jの形で素因数pをもつ
ところがおめぇ、自然数dについて
『d^6がaを割り切るような自然数dはd=1に限る』
わけだから、p=1となり矛盾!
したがって、aは3と5以外に素因数をもたねぇww
これでおめーでゆーとこの意味不明の文言を使い、(2)の証明は終わったわけだが、何となく意味は解ってきたか?
まぁ、最後の問題を解く頃にゃ全ての謎が解ける事だろうww
ラスト一発いくぜ!独壇場beauty
気合い入れろよ?高木ブーwwww
(3) k、lを自然数として
a=3^k5^l
とおける
こう置けりゃ、キマッたも同然よw
{3a=b^3, 5a=c^2
⇔{3^{k+1}5^t=b^3, 3^{k}5^{l+1}=c^2
⇔{3^{k+2/3}5^{l/3}=b, 3^{k/2}5^{l+1/2}=c
k+1は3の倍数、kは2の倍数より、
k=2,8,14,……
lは3の倍数、l+1は2の倍数より、
l=3,9,15……
で、最後の砦!
『d^6がaを割り切るような自然数dがd=1に限る』
ことにより、
k<6, l<6
であるから、
k=2, l=3
と決まる!
ゆえに、a=3^{2}5^{3}=1125
これで全ての答えが出揃ったわけだが、ヤンキー数学を通して全ての謎は解けたろ?
解答を振り返ってみりゃよ、
『d^6がaを割り切る』てなぁつまり、『aがd^6を因数に持つ』
てことが判るよな?
んで、このよーなdがd=1のみっつーことは、要するに
『全ての素数pについて、aはp^6を因数にもたねー』
てことな!
んな感じで言い換えながら考察してきゃ、一見して意味不明に思える条件の使い方も余裕で解ってくる筈だw
以上!
これにてヤンキー証明終わりwwww
パラパ パラパラ パラパパパ~♪♪♪
解りやすい回答ありがとうございます。
ぎゃりーさんの模範解答のような綺麗に纏まった解答のおかげで、もやもやが晴れました。
高木ブーの謎の表現には、意味も解らず思わず吹いてしまいましたがね。(笑)
度々見掛けては、要点をピンポイントに絞り巧くまとめ上げるセンス(?)に、毎回驚かされてました。
自分は数学のセンスがいまいちなので…。
今回の自分の質問にもヒントだけでなく、解りやすく回答まで頂き、そのお陰でしっかりと理解できました。
色々な問題に躓いてはその度投げ出してを繰り返し、苦手なものから目を反らしていましたが、これからはそうならないよう、自分を磨いていきます。ありがとうございました。
なるほどね😋
証明の行程抜きで、超簡略化して(3)だけを解くと、
「3a=b^3,5a=c^2」が成立していて、a,b,cが自然数の場合、a,b,cは
a=3^2・5^3・d^6
b=3・5・d^2
c=3・5^2・d^3
(注:dは素数に限定しない)
このように表せる事になります。
bとcが自然数なら、aは「3を掛けた時に立方数になり、5を掛けた時に平方数になる数」というわけですが……これを満たすには最低限、aの因数に3^2と5^3が同時に含まれていないといけません。(※)
逆に言えば、これが含まれていれば、bとcは上記の式で示されるような自然数となり、うまく条件を満たします。
これを踏まえた上で、「d^6がaを割り切るような自然数dはd=1に限る」という条件から、d=1となり、
a=3^2・5^3=1125
と、なります。
慣れていれば、(3)は直感で解けますが……ただ、直感を証明するための技術も、やはり重要ですね😓
(※)の結論は私の直感で導き出した物であり、「証明しろ」と言われたら困っていたかも😅
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