数学の証明問題についての質問です

何も出来ないで‥っておめぇ、それじゃまるで高木ブーじゃねぇかwwww

いやいや、わりわりww

ふむふむ、なる程こいつぁ『素因数分解の一意性』がテーマの問題だな


3a=b^3、5a=c^2


問題にある↑見りゃ判ると思うが、それぞれ右辺は3乗、２乗の形だから、aの素因数についても3乗、2乗の形で現れることを見抜かなきゃならねぇ！

そして、おめーが疑問に思ってる文言は何を意味してんのか？

それら全ての謎を解き明かす為、一発ヤンキー数学でも炸裂させっかん、世露死苦！！

まずは(1)　3a=b^3より、bは3の倍数だから

b=3b′(b′は自然数 )　と書ける

ゆえに

3a=(3b′)^3⇔a=9b′^3

よって、aは３の倍数である

5a=c^3よりcは5の倍数だから、同様に

c=5c′(c′は自然数)

と書け、ゆえに

5a=(5c′)^2⇔a=5c′^2

よってaは5の倍数であり、したがって

aは3と5で割り切れる

証明終わり！


おらおらぁ次、

(2)　aが3と5以外の素因数pをもつとすると、

3a=b^3

より、aは(p^3)^hの形で素因数をもち、

5a=c^2

より、aは(p^2)^iの形で素因数をもつ

つまり、aは(p^6)^jの形で素因数pをもつ

ところがおめぇ、自然数dについて

『d^6がaを割り切るような自然数dはd=1に限る』

わけだから、p=1となり矛盾！

したがって、aは3と5以外に素因数をもたねぇww

これでおめーでゆーとこの意味不明の文言を使い、(2)の証明は終わったわけだが、何となく意味は解ってきたか？

まぁ、最後の問題を解く頃にゃ全ての謎が解ける事だろうww

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ラスト一発いくぜ！独壇場beauty

気合い入れろよ？高木ブーwwww


(3)　k、lを自然数として

a=3^k5^l

とおける

こう置けりゃ、キマッたも同然よw

{3a=b^3,　5a=c^2

⇔{3^{k+1}5^t=b^3,　3^{k}5^{l+1}=c^2

⇔{3^{k+2/3}5^{l/3}=b,　3^{k/2}5^{l+1/2}=c


k+1は３の倍数、kは2の倍数より、

k=2,8,14,……

lは3の倍数、l+1は2の倍数より、

l=3,9,15……

で、最後の砦！

『d^6がaを割り切るような自然数dがd=1に限る』

ことにより、

k＜6,　l＜6

であるから、

k=2,　l=3

と決まる！

ゆえに、a=3^{2}5^{3}=1125

これで全ての答えが出揃ったわけだが、ヤンキー数学を通して全ての謎は解けたろ？

解答を振り返ってみりゃよ、

『d^6がaを割り切る』てなぁつまり、『aがd^6を因数に持つ』

てことが判るよな？

んで、このよーなdがd=1のみっつーことは、要するに

『全ての素数pについて、aはp^6を因数にもたねー』

てことな！

んな感じで言い換えながら考察してきゃ、一見して意味不明に思える条件の使い方も余裕で解ってくる筈だw

以上！

これにてヤンキー証明終わりwwww

パラパ　パラパラ　パラパパパ～♪♪♪

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解りやすい回答ありがとうございます。
ぎゃりーさんの模範解答のような綺麗に纏まった解答のおかげで、もやもやが晴れました。
高木ブーの謎の表現には、意味も解らず思わず吹いてしまいましたがね。(笑)
　
度々見掛けては、要点をピンポイントに絞り巧くまとめ上げるセンス(?)に、毎回驚かされてました。
自分は数学のセンスがいまいちなので…。
今回の自分の質問にもヒントだけでなく、解りやすく回答まで頂き、そのお陰でしっかりと理解できました。

色々な問題に躓いてはその度投げ出してを繰り返し、苦手なものから目を反らしていましたが、これからはそうならないよう、自分を磨いていきます。ありがとうございました。

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なるほどね😋



証明の行程抜きで、超簡略化して(３)だけを解くと、

｢3a=b^3,5a=c^2｣が成立していて、a,b,cが自然数の場合、a,b,cは

a=3^2･5^3･d^6
b=3･5･d^2
c=3･5^2･d^3
(注：dは素数に限定しない)

このように表せる事になります。
bとcが自然数なら、aは｢３を掛けた時に立方数になり、５を掛けた時に平方数になる数｣というわけですが……これを満たすには最低限、aの因数に3^2と5^3が同時に含まれていないといけません。(※)
逆に言えば、これが含まれていれば、bとcは上記の式で示されるような自然数となり、うまく条件を満たします。

これを踏まえた上で、｢d^6がaを割り切るような自然数dはd=1に限る｣という条件から、d=1となり、

a=3^2･5^3=1125

と、なります。



慣れていれば、(３)は直感で解けますが……ただ、直感を証明するための技術も、やはり重要ですね😓
(※)の結論は私の直感で導き出した物であり、｢証明しろ｣と言われたら困っていたかも😅

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