数学の問題解説お願いします。

問題は？

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>> 1 得意な方が来てくれた時に出すますよ。もし今日中に来なければスレは消します。

• << 4 要は解答できる！て奴が来たら問題出してその場で解かせる腹だろ？ 解説とかゆってっけど、書き込むまでにどんだけ時間かかると思ってんだかよwww 直ぐに答がほしーなら、途中計算無しでほんと答しか書かねーぞwww あ？

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あと２時間…待ちます。

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>> 2 得意な方が来てくれた時に出すますよ。もし今日中に来なければスレは消します。 要は解答できる！て奴が来たら問題出してその場で解かせる腹だろ？

解説とかゆってっけど、書き込むまでにどんだけ時間かかると思ってんだかよwww

直ぐに答がほしーなら、途中計算無しでほんと答しか書かねーぞwww

あ？

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あと、前レスで俺が書いたこと考えてんなら証明問題も却下な！

書き終えるまでになんかあったら、3日でも4日でも放置することも考えられっかんなww

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できれば解説までお願いしたいのですが…今日はもう眠くなってきたので、明日でも構いませんよ。

• << 13 俺は寝るけどおめーは起きて勉強せやwww 今すぐにww

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>> 6 解説はともかく、明日やるかやらねーかは俺が決めるwww

明日、ここに来られる保証もねぇしな！

これだきゃ覚えとけ

自分の都合だけでなんでも良いように事が運ぶと思わねーこったな

• << 9 すいません。 (1)z=xy/x+y,x=rcosΘ,y=rsinΘのとき,∂z/∂r,∂z/∂Θを求めよ. (2)z=xy,u=3x-y,v=-2x+yのとき,∂z/∂u,∂z/∂vを求めよ. 合成関数の編導関数の問題なんですが、いつでも構いませんのでお願いしますm(__)m

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宿題は、自分の学力と努力でするものですよ？

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>> 7 解説はともかく、明日やるかやらねーかは俺が決めるwww 明日、ここに来られる保証もねぇしな！ これだきゃ覚えとけ 自分の都… すいません。

(1)z=xy/x+y,x=rcosΘ,y=rsinΘのとき,∂z/∂r,∂z/∂Θを求めよ.

(2)z=xy,u=3x-y,v=-2x+yのとき,∂z/∂u,∂z/∂vを求めよ.

合成関数の編導関数の問題なんですが、いつでも構いませんのでお願いしますm(__)m

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>> 9 いつも思うんだけど～。
質問するなら一応自分で解けたとこまでここに書いて置くのが回答者に対する最低限の礼儀なんじゃないの？

何でも丸投げはいけないと思うな～。
　

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合成関数の偏導関数だな？

ったく、最初から問題書いときゃもっと早く回答得られたもんをよww

まー良い！解答にへぇるめぇに要望どーり説明入れとくが、こいつはz=f(x, y)において、z, yがu, vの2変数関数となんだがこんとき

{z=f(x, y), x=φ(u, v), y=ψ(u,v)

においてzがx, yについて偏微分可能、x, yがu, vについて偏微分可能なら、zはu, vについて偏微分可能で

∂z/∂u=∂z/∂x ∂x/∂u+∂z/∂y ∂y/∂u, ∂z/∂v=∂z/∂x ∂x/∂v+∂z/∂y ∂y/∂v

例えば

z=xy, x=au+bv, y=cu+dv (a,b,c,dは定数)なら

∂z/∂u=∂z/∂x ∂x/∂u+∂z/∂y ∂y/∂v

=y・a+x・c=2auc+(ad+bc)v

∂z/∂v=∂z/∂x ∂x/∂v+∂z/∂y ∂y/∂v

=y・b+x・d=(ad+bc)u+2bdv

z=√x^2+y^2, x=u+v, y=uvなら

∂z/∂u=∂z/∂x ∂x/∂u+∂z/∂y ∂y/∂u

=x/√x^2+y^2・1+y/√x^2+y^2・v

=x+yv/√x^2+y^2=u+v+uv^2/√(u+v)^2+(uv)^2

zはuとvの対称式だかん、uとvを変換して

∂z/∂v=u+v+u^{2}v/√(u+v)^2+(uv)^2

となり、z=f(x, y)において直行座標ば

x=r cosθ, y=r sinθによって極座標に変換すりゃ

∂z/∂r=∂z/∂x ∂x/∂r+∂z/∂y ∂y/∂r

=∂z/∂x cosθ+∂z/∂x sinθ

∂z/∂θ=∂z/∂x ∂x/∂θ

=-∂z/∂x r sinθ+∂z/∂y r cosθ

となる！

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さーて解答にへぇるど！

(1) ∂z/∂x=y(x+y)-xy・1/√(x+y)^2=y^2/(x+y)^2

=r^{2}sin^{2}θ/(r cosθ+r sinθ)^2

=sin^{2}θ/(cosθ+sinθ)^2

同様に

∂z/∂y=cis^{2}θ/(cosθ+sinθ)^2

また

∂x/∂r=cosθ, ∂y/∂r=sinθ, ∂x/∂θ

=-r sinθ, ∂y∂θ=r cosθ

したがって

∂z/∂r=∂z/∂x ∂x/∂r+∂z/∂y ∂y/∂r

=sin^{2}θ/(cosθ+sinθ)^2・cosθ+cos^{2}θ/(cosθ+sinθ)^2・sinθ

=sinθcosθ/cosθ+sinθ…答

∂z/∂θ=∂z/∂x ∂x/∂θ+∂z/∂y ∂y/∂θ

=r(cos^{3}θ-sin^{3}θ)/(cosθ+sinθ)^2…答


(2) u=3x-y, v=-2x+yのとき

x=u+v, y=2u+3vだから

∂z/∂u=∂z/∂x ∂x/∂u+∂z/∂y ∂y/∂u=y・1+x・2

=(2u+3v)+2(u+v)=4u+5v…答

∂z/∂v=∂z/∂x ∂x/∂v+∂z/∂y ∂y/∂v=y・1+x・3

=(2u+3v)+3(u+v)=5u+6v…答

よし寝る！


これにてヤンキー数学おわり！

パラパ パラパラ パラパパパ～♪♪♪♪♪

• << 17 偏微分について詳しい事は知らないけど、高校数学の｢媒介変数を用いた微分｣に少し似てるかも。 【例題】 x=t^3－t y=t^2＋3t＋5 この時、dy/dxを求めよ。 【解答】 dx/dt＝3t^2－1 dy/dt＝2t＋3 dy/dx＝(dy/dt)／(dx/dt) ＝(2t＋3)／(3t^2－1) 今回は、変数がt１つからrとθ(uとv)の２つ、さらにxとyから構成される関数zの微分を考えるという｢媒介関数の２段構え(z→xy→rθ及びz→xy→uv)｣とでも言える問題だったのかも。

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>> 6 できれば解説までお願いしたいのですが…今日はもう眠くなってきたので、明日でも構いませんよ。 俺は寝るけどおめーは起きて勉強せやwww

今すぐにww

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もしかしてこのスレも中嶋？

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ぎゃり～さんが、ササッと丁寧に解説つきで解いてくれたのに放置？

• << 18 皆が皆とはゆわねーが、この手のスレに限らずまー放置が目立つよなwww

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なんやこれ、ヒエログリフかいな。
解読できひん(~_~;)

• << 19 んな難解な象形文字ぁ使ってねーんだがなww

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>> 12 さーて解答にへぇるど！ (1) ∂z/∂x=y(x+y)-xy・1/√(x+y)^2=y^2/(x+y)^2 =r^{2}si… 偏微分について詳しい事は知らないけど、高校数学の｢媒介変数を用いた微分｣に少し似てるかも。

【例題】
x=t^3－t
y=t^2＋3t＋5

この時、dy/dxを求めよ。

【解答】
dx/dt＝3t^2－1
dy/dt＝2t＋3

dy/dx＝(dy/dt)／(dx/dt)
＝(2t＋3)／(3t^2－1)

今回は、変数がt１つからrとθ(uとv)の２つ、さらにxとyから構成される関数zの微分を考えるという｢媒介関数の２段構え(z→xy→rθ及びz→xy→uv)｣とでも言える問題だったのかも。

• << 20 媒介変数てな、主な変数や関数に対する影武者みてーなもんで、考え方そのものぁ合成関数と大した変わらんからなw 合成関数の微分法で出てくる記号dy/dx、言うまでもなくyをxで微分するっつー意味なんだが、例えば y=x^3+2xんときdy/dx=3x^2+2だわな？ で、これを中心としてdy/duやらdy/dt或いはdt/duといった仲間がいるんだが、dy/dyはさっきと同様、yをuで微分するっつー意味で、例として y=u^4+y^2+3uんときdy/du=4u^3+2u+3 となり、これだけみりゃxの文字がuに化けただけかと思われる………が y=u^4+u^2+3uのときdy/dx=0 ……0‥だと？と、何が起こったか解らねー奴も出てくることだろーw が、絡繰りは実に単純でこの場合 y=u^4+u^2+3uこいつはuの式であってxの式じゃねぇ！ で、dy/dxよりyをxで微分するわけだかん u^4+u^2+3uはxにとって3や5などの『定数』と同様となる ここで本題にへぇるが、y=g(u), u=f(x)とする 合成関数y=g(f(x))に対して dy/dx=dy/du・du/dx=dg(u)/du・df(x)/dx となる！ 一見複雑に見えるかも知れんが実際に y=(x^2+1)^6をxで微分してみるが、まぁdy/dxを求めりゃいーわけで y=(x^2+1)^6はy=u^6(g(u))とx^2+1(f(x))の合成関数だからこのとき dy/du=6u^5かつdu/dx=2x 以上より dy/dx=dy/du・du/dx=6u^5×2x =12x(x^2+1)^5とできあがるわな？ 実はこれ、本来表現しちゃいけねーことなんだが裏技として 『dy/du・du/dx=dy/dx』 ↑とイメージすりゃすんなりと事が運ぶww で、何故にこの局面で 『dy/du・du/dx=dy/dx』みてーな、 やっちゃならねー表現法を伝えたのか？ これは次に説明する媒介変数でも不思議と上手くいき、偶然にも辻褄が合うからよww まーこれはあんたのよーなダメなものはダメだと認識できる知識を十分に持った上で、上手く応用できる知識と実戦テクニックがある奴にしか言わねーけどなww

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>> 15 ぎゃり～さんが、ササッと丁寧に解説つきで解いてくれたのに放置？ 皆が皆とはゆわねーが、この手のスレに限らずまー放置が目立つよなwww

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>> 16 なんやこれ、ヒエログリフかいな。 解読できひん(~_~;) んな難解な象形文字ぁ使ってねーんだがなww

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>> 17 偏微分について詳しい事は知らないけど、高校数学の｢媒介変数を用いた微分｣に少し似てるかも。 【例題】 x=t^3－t y=t^2＋… 媒介変数てな、主な変数や関数に対する影武者みてーなもんで、考え方そのものぁ合成関数と大した変わらんからなw

合成関数の微分法で出てくる記号dy/dx、言うまでもなくyをxで微分するっつー意味なんだが、例えば

y=x^3+2xんときdy/dx=3x^2+2だわな？

で、これを中心としてdy/duやらdy/dt或いはdt/duといった仲間がいるんだが、dy/dyはさっきと同様、yをuで微分するっつー意味で、例として

y=u^4+y^2+3uんときdy/du=4u^3+2u+3

となり、これだけみりゃxの文字がuに化けただけかと思われる………が

y=u^4+u^2+3uのときdy/dx=0

……0‥だと？と、何が起こったか解らねー奴も出てくることだろーw

が、絡繰りは実に単純でこの場合

y=u^4+u^2+3uこいつはuの式であってxの式じゃねぇ！

で、dy/dxよりyをxで微分するわけだかん

u^4+u^2+3uはxにとって3や5などの『定数』と同様となる

ここで本題にへぇるが、y=g(u), u=f(x)とする

合成関数y=g(f(x))に対して

dy/dx=dy/du・du/dx=dg(u)/du・df(x)/dx

となる！

一見複雑に見えるかも知れんが実際に

y=(x^2+1)^6をxで微分してみるが、まぁdy/dxを求めりゃいーわけで

y=(x^2+1)^6はy=u^6(g(u))とx^2+1(f(x))の合成関数だからこのとき

dy/du=6u^5かつdu/dx=2x

以上より

dy/dx=dy/du・du/dx=6u^5×2x

=12x(x^2+1)^5とできあがるわな？

実はこれ、本来表現しちゃいけねーことなんだが裏技として

『dy/du・du/dx=dy/dx』

↑とイメージすりゃすんなりと事が運ぶww

で、何故にこの局面で 『dy/du・du/dx=dy/dx』みてーな、 やっちゃならねー表現法を伝えたのか？

これは次に説明する媒介変数でも不思議と上手くいき、偶然にも辻褄が合うからよww

まーこれはあんたのよーなダメなものはダメだと認識できる知識を十分に持った上で、上手く応用できる知識と実戦テクニックがある奴にしか言わねーけどなww

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さて、このスレにある合成関数の微分が媒介変数を用いた微分さ似てるとのことだが、全くそのとーり！

例えば媒介変数θを用いて

{x=2cosθ…① y=3sinθ…②

(ただし0≦θ＜2π)

と表される曲線についてdx/dθとdy/dθを求めてみるが、ポイントとなる

dy/dx=dy/dθ・dθ/dx

=dy/dθ/dx/dθ

を前レスにある考え方で当てはめりゃ

dy/dx=dy/dθ・dθ/dx←dy/dθ・dθ/dx
=dy/dx

dy/dθ/dx/dx/dθ←1/dx/dx/dθ=dθ/dx

てな具合に、合成関数んときのあのイメージでやはり辻褄が合うww

解答はまぁ①より

dx/dθ=2×(-sinθ)

=-2sinθ…答

②より

dy/dθ=3cosθ…答

ついでにdy/dxをθを用いて表すなら、やはりさっきと同様

dy/dx=dy/dθ/dx/dθ

=3cosθ/-2sinθ

=3/2・sinθ/cosθ

=-3/2tanθ…てな具合になる！


ところで偏微分についてよく解らんとのことことだが、それについても一丁ぶちかますかん夜露死苦！！！

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よし！偏微分の話にへぇる！

数学てか、例として多少物理化学的な話になるが、化学じゃ変数が２つ以上ある場合なんてなざらにあんよな？

例えばファンデルワールスの状態方程式なんかで

〔p+a/V_{m}^2〕(V_m-d)=R・Tについて∂p/∂V_mを求める場合、圧力p、温度T、モル体積V_mの３つの変数があるが、各変数について変化率を調べる場合、1つの変数に着目してそれ以外の変数は変わらんものとして行えばいい！

例えばf(x, y)=2x+3y-xy

といった関数がxに関してどんな風に変化すんのか調べる場合、yを固定しといて、あたぁ規則に従って微分するだけで、この微分を偏微分と呼び、得られた関数を偏導関数ってんだわ！

偏導関数は

〔∂f(x, y)/∂x〕_y=2-y

と書け、さっきもゆったとーりyを固定したから3yは定数だから、今回の場合は0になるわな！

［y］xもyが定数だから、xに関して微分すりゃyとなる！

()の外の添字(今回の場合はy)は固定してる変数を表してて、ここで出てきた記号∂(ラウンドデルタ)はdと同じよーな意味なんだが、偏微分ときだけに使う記号なんだわ

dxが微小なxっつー意味をもち一つの記号として移項できるのに対し、∂xぁそれだけでは意味を持たず、移項させることができねーといったちげーがある！

同様にyに関して偏微分すりゃ

〔∂f(x, y)/∂y〕_x=3-x

となり、まぁ偏微分て言やぁなにやら小難しい響きに聞こえっけどよ、要は文字を指定した微分てな単純なもんだww

この例の場合、まずp=～の形に変形すりゃ

p=R・T/V_m-b-a/V_m^2=R・T・(V_m-b)^-1-a・V_m^2

∂p/∂V_m=-R・T・(V_m-b)^2+2a・V_m^3

てな具合になんだが、V_mいげーは定数と考えて微分すりゃいい！

これにてヤンキー数学おわり！

パラパ パラパラ パラパパパ～♪♪♪♪

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惚れ惚れするわ～ミクルにこんな人が居るなんてほんと信じられないな。

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>> 23 いや、んなことより人がせっかく答えてやってんのに放置してる奴のほーが信じられねーわどっちかとゆえばwwwwww

てめーこらマジいい加減出てこいやーーーーーーwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

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>> 24 あっ！これ主宛ての怒りのメッセージなwww

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