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a^x=b^y-1を満たす式

レス8 HIT数 829 あ+ あ-

名無し
18/05/21 23:33(更新日時)

困っているわけではなく、ふと気になった事です。

a^x＝b^y-1　(a,b,x,yはいずれも2以上の整数)

が成り立つ数式は、

2^3=3^2-1　(8＝9-1)

以外に存在するのでしょうか。
存在するとしたら当てはまる数字は何でしょうか。
また、存在しないとしてそれは証明できるのでしょうか。

自分で考えた結果、yが偶数であると(2yとします）
a^x＝b^2y-1
　　＝(b^y+1)(b^y-1）となり、
a^xを満たすために(b^y+1)(b^y-1）両方がaの倍数であると考えると、
yが偶数の時当てはまる式は
a=2、b=3の時だけ、（2^3=(3+1)*(3-1)=4*2）

という結論にはなったのですが、
yが奇数の時にどうなるのかがさっぱり分かりませんでした。

大変くだらない疑問ですが、もしよろしければご回答お願いいたします。

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No.2646174　18/05/15 21:48(スレ作成日時)

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No.1 18/05/15 22:03
小学生1

知らねーらよ

<< 4 御解答ありがとうございます。変なことお聞きして申し訳ございません。

No.2 18/05/15 22:22
通行人2

ぎゃり～ばみゅばみゅさんなら解いてくれるかも。

<< 5 御解答ありがとうございます。残念ながらきゃり～ぱみゅぱみゅさんはもちろんぎゃり～ばみゅばみゅさんの連絡先は知らないので聞くことはできません。

No.3 18/05/15 23:19
匿名3 ( 40代 ♂ )

間違ってたらごめん。
別にyが奇数でも偶数でも（b^(y/2)+1）（b^(y/2)-1）とすれば、aは２以下となるのでは？

<< 6 御解答ありがとうございます。ｙが奇数の時ですが、、（b^(y/2)+1）（b^(y/2)-1）が無理数×無理数となる為、ｙが偶数で（b^(y/2)+1）（b^(y/2)-1）の整数×整数(有理数×有理数)と違って言い切れないのではと考えました。例えばですが3^5-1は（3^(5/2)+1）（3^(5/2)-1）となり、どちらも11では割り切れませんが、計算結果は242と2*11＾2となります。これが場合によってはa^xになることの否定が私の頭ではできなかったのです。もし間違っていたら申し訳ございません。

No.4 18/05/18 20:27
名無し0

>> 1 知らねーらよ御解答ありがとうございます。
変なことお聞きして申し訳ございません。

No.5 18/05/18 20:30
名無し0

>> 2 ぎゃり～ばみゅばみゅさんなら解いてくれるかも。御解答ありがとうございます。
残念ながらきゃり～ぱみゅぱみゅさんはもちろん
ぎゃり～ばみゅばみゅさんの
連絡先は知らないので聞くことはできません。

No.6 18/05/18 20:34
名無し0

>> 3 間違ってたらごめん。別にyが奇数でも偶数でも（b^(y/2)+1）（b^(y/2)-1）とすれば、aは２以下となるのでは？御解答ありがとうございます。

ｙが奇数の時ですが、、
（b^(y/2)+1）（b^(y/2)-1）が無理数×無理数となる為、
ｙが偶数で
（b^(y/2)+1）（b^(y/2)-1）の整数×整数(有理数×有理数)と
違って言い切れないのではと考えました。

例えばですが3^5-1は（3^(5/2)+1）（3^(5/2)-1）となり、
どちらも11では割り切れませんが、計算結果は242と2*11＾2となります。
これが場合によってはa^xになることの否定が私の頭ではできなかったのです。

もし間違っていたら申し訳ございません。