至急助けてください！

宿題ですか？

教えてほしい理由をちゃんと書かないと、みんな警戒して教えてくれないと思うよ。
無責任に教えちゃって、何かに悪用されちゃったら大変でしょ？
過去に居たのよ、試験中にスマホ使って受験問題の解答を求めたバカ。
今回は時間帯的にありえないとは思うけどね。

あ、ごめんだけど私は馬鹿すぎて全然わかんないです。
もう寝なきゃ…おやすみなさい…

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≫(1)一次関数y＝ax+b について、xの変域が-3≦x≦4のとき、yの変域が-3≦y≦11。ただし、a＜0とする。
≫このときのaとbの値を求めろ。→a.-2 b.5

一次関数y＝ax+bでa＜0の場合、右肩下がりの直線となる。すなわち、単純に、xが減少すればyは増加し、xが増加すればyは減少する。
このため、xが最小値を取る時yは最大値になり、xが最大値を取る時yは最小値を取る。

つまりは、

11＝-3a＋b
-3＝4a＋b

となるので、これを解き、
a＝-2、b＝5

を、得ます。

≫(2)一つの外角が30°である正多角形正何角形かこたえよ。→正12角形

まずは、正５角形ＡＢＣＤＥを書き、正５角形の中心Ｏに各頂点から線を引いてみて下さい。正５角形の内部に、三角形が５つできるはずです。
さらに、ＣＤを延長した所に点Ｆを設けます。

　　　　Ａ

　Ｂ　　　　　Ｅ
　　　　Ｏ

　　Ｃ　　　Ｄ　　　Ｆ

この時、∠ＥＤＦの事を、｢正多角形(この場合は正５角形)の外角｣と言います。この｢正多角形の外角｣は、必ず∠ＣＯＤ(＝中心角の１つ)と等しくなります。

つまり、

ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ＝ＯＥ
かつ
ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＥ＝ＥＡ

なので、これら５つの三角形は｢合同な二等辺三角形｣です。
よって、

∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ＝∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢ＝∠ＯＣＤ＝∠ＯＤＣ＝∠ＯＤＥ＝∠ＯＥＤ＝∠ＯＥＡ＝∠ＯＡＥ(＝∠ａ)

となり、これらの角度を∠ａとすると、正５角形の内角１つの大きさは２ａ、外角の大きさは180－２ａ、中心角１つの大きさも180－２ａ(→三角形の内角の和は180)と表せます。
このため、正５角形の中心角１つの大きさと外角１つの大きさは、常に等しくなるのです。

さて、今回は正５角形を例に挙げて説明しましたが、｢中心角１つの大きさと外角１つの大きさは等しい｣という事は、正多角形全てに対して言える事です。証明の理屈は全く同じです。

このため、外角１つが30°の正多角形の内側には、三角形が

360÷30＝12

12個、二等辺三角形が作れることになります。
つまり、この正多角形は、正12角形です。

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≫(3)星形7角形(七つの点を一つ飛びに結んだもの)の先端の角の和は何度か答えろ。→540°

星形７角形は携帯で書くのが面倒なので、星形５角形にします。
星形５角形の先端をＡ～Ｅ、内側の５角形の頂点をＦ～Ｊとします。
また、星形５角形の中心(５角形ＦＧＨＩＪの中心)をＯとします。

　　　　 Ａ

　Ｂ　 Ｆ　Ｊ　 Ｅ

　　 Ｇ　　　Ｉ
　　　　 Ｈ
　 Ｃ　　　　　Ｄ

また、説明しやすいように、

∠ＣＡＤ＝ａ
∠ＤＢＥ＝ｂ
∠ＡＣＥ＝ｃ
∠ＡＤＢ＝ｄ
∠ＢＥＣ＝ｅ
∠ＪＦＧ＝ｆ
∠ＦＧＨ＝ｇ
∠ＧＨＩ＝ｈ
∠ＨＩＪ＝ｉ
∠ＩＪＦ＝ｊ

と、します。

さて、中心ＯからＡ～Ｅに線を引き、矢印型四角形ＯＡＦＢ、ＯＢＧＣ、ＯＣＨＤ、ＯＤＩＥ、ＯＥＪＡに対して外角の定理(※矢印型四角形の外角の定理は後述)を使うと、

∠ＯＡＦ＋∠ＯＢＦ＋∠ＡＯＢ＝∠ＡＦＢ＝ｆ
∠ＯＢＧ＋∠ＯＣＧ＋∠ＢＯＣ＝∠ＢＧＣ＝ｇ
∠ＯＣＨ＋∠ＯＤＨ＋∠ＣＯＤ＝∠ＣＨＤ＝ｈ
∠ＯＤＩ＋∠ＯＥＩ＋∠ＤＯＥ＝∠ＤＩＥ＝ｉ
∠ＯＥＪ＋∠ＯＡＪ＋∠ＥＯＡ＝∠ＥＪＡ＝ｊ
……(＊)

となります。
５角形ＦＧＨＩＪの内角の和は540なので、

ｆ＋ｇ＋ｈ＋ｉ＋ｊ＝540

また、

∠ＯＡＪ＋∠ＯＡＦ＝ａ
∠ＯＢＦ＋∠ＯＢＧ＝ｂ
∠ＯＣＧ＋∠ＯＣＨ＝ｃ
∠ＯＤＨ＋∠ＯＤＩ＝ｄ
∠ＯＥＩ＋∠ＯＥＪ＝ｅ

さらに、

∠ＡＯＢ＋∠ＢＯＣ＋∠ＣＯＤ＋∠ＤＯＥ＋∠ＥＯＡ＝360(中心角一周)

なので、上の(＊)の５式の和は、結局

ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＝180

となります。

これと同じ原理で、星形正ｎ角形の先端の角の和は全て求められます。
一般化すると、

星形正ｎ角形の先端の角の和
＝正ｎ角形の内角の和－中心角一周分(360)
＝180(ｎ－２)－360
＝180(ｎ－４)

なので、星形正７角形の先端の角の和は、540。



(※)→矢印型四角形は、｢三角形を２つ組み合わせた物｣と考えられる。
すなわち、

　　　　　　　Ａ

Ｏ　　Ｂ　　　　　　Ｄ

　　　　　　　Ｃ

矢印型四角形ＯＡＢＣがあり、ＯＢの延長線上にＤを取ると、外角の定理より

∠ＡＯＢ＋∠ＯＡＢ＝∠ＡＢＤ
∠ＣＯＢ＋∠ＯＣＢ＝∠ＣＢＤ

となるので、この２式を足して、

∠ＡＯＣ＋∠ＡＯＢ＋∠ＣＯＢ＝∠ＡＢＣ

を、得ます。

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≫(4)四角形abcdが平行四辺形の時、向かい合う角がそれぞれ等しいことを証明しろ。対角線が交わるところをoとする。

平行四辺形なので、ａｄとｂｃは平行。また、ａｂとｄｃも平行。

　　ａ　　ｄ

ｂ　　ｃ

対角線ａｃと平行線ａｄ・ｂｃについて考えると、錯角により、

∠ｄａｃ＝∠ｂｃａ

また、対角線ａｃと平行線ａｂ・ｄｃについて考えると、錯角により、

∠ｂａｃ＝∠ｄｃａ

２式を足し、

∠ｂａｄ＝∠ｂｃｄ

を、得ます。

次に、対角線ｂｄと平行線ａｄ・ｂｃについて考えると、

(中略・原理同じ)

２式を足し、

∠ａｂｃ＝∠ａｄｃ

を、得ます。



お疲れさまでした。

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