注目の話題
八方塞がり。賃貸入居審査に落とされ続けてます。。
他人と自分の子を比較する内心誰もがマウントを取っている
車中泊で職質されますか?

数学の証明問題についての質問です

レス4 HIT数 2317 あ+ あ-

大学生
16/06/15 01:00(更新日時)

自然数a,b,cが
  3a=b^3,5a=c^2
を満たし、d^6がaを割り切るような自然数dはd=1に限るとする。

(1)aは3と5で割り切れることを示せ。

(2)aの素因数は3と5以外にないことを示せ。

(3)aを求めよ。

となってるんですが、問題文に書かれている「d^6がaを割り切るような自然数dはd=1に限るとする」がなんなのか全く意味が解りません。
もともと証明問題はあまり得意ではないので、その上でこのような問題を出題され、何も出来ずにただただ呆然と眺めてるだけです。
どなたか、せめてこの問題を解けるヒントだけでも良いので、ご教授お願いします。
  

タグ

No.2343535 16/06/13 19:30(スレ作成日時)

投稿順
新着順
主のみ
付箋

No.1 16/06/13 21:36
ぎゃり~ばびゅばびゅ ( 30代 ♂ jHa6Sb )

何も出来ないで‥っておめぇ、それじゃまるで高木ブーじゃねぇかwwww

いやいや、わりわりww

ふむふむ、なる程こいつぁ『素因数分解の一意性』がテーマの問題だな


3a=b^3、5a=c^2


問題にある↑見りゃ判ると思うが、それぞれ右辺は3乗、2乗の形だから、aの素因数についても3乗、2乗の形で現れることを見抜かなきゃならねぇ!

そして、おめーが疑問に思ってる文言は何を意味してんのか?

それら全ての謎を解き明かす為、一発ヤンキー数学でも炸裂させっかん、世露死苦!!

まずは(1) 3a=b^3より、bは3の倍数だから

b=3b′(b′は自然数 ) と書ける

ゆえに

3a=(3b′)^3⇔a=9b′^3

よって、aは3の倍数である

5a=c^3よりcは5の倍数だから、同様に

c=5c′(c′は自然数)

と書け、ゆえに

5a=(5c′)^2⇔a=5c′^2

よってaは5の倍数であり、したがって

aは3と5で割り切れる

証明終わり!


おらおらぁ次、

(2) aが3と5以外の素因数pをもつとすると、

3a=b^3

より、aは(p^3)^hの形で素因数をもち、

5a=c^2

より、aは(p^2)^iの形で素因数をもつ

つまり、aは(p^6)^jの形で素因数pをもつ

ところがおめぇ、自然数dについて

『d^6がaを割り切るような自然数dはd=1に限る』

わけだから、p=1となり矛盾!

したがって、aは3と5以外に素因数をもたねぇww

これでおめーでゆーとこの意味不明の文言を使い、(2)の証明は終わったわけだが、何となく意味は解ってきたか?

まぁ、最後の問題を解く頃にゃ全ての謎が解ける事だろうww

No.2 16/06/13 21:46
ぎゃり~ばびゅばびゅ ( 30代 ♂ jHa6Sb )

ラスト一発いくぜ!独壇場beauty

気合い入れろよ?高木ブーwwww


(3) k、lを自然数として

a=3^k5^l

とおける

こう置けりゃ、キマッたも同然よw

{3a=b^3, 5a=c^2

⇔{3^{k+1}5^t=b^3, 3^{k}5^{l+1}=c^2

⇔{3^{k+2/3}5^{l/3}=b, 3^{k/2}5^{l+1/2}=c


k+1は3の倍数、kは2の倍数より、

k=2,8,14,……

lは3の倍数、l+1は2の倍数より、

l=3,9,15……

で、最後の砦!

『d^6がaを割り切るような自然数dがd=1に限る』

ことにより、

k<6, l<6

であるから、

k=2, l=3

と決まる!

ゆえに、a=3^{2}5^{3}=1125

これで全ての答えが出揃ったわけだが、ヤンキー数学を通して全ての謎は解けたろ?

解答を振り返ってみりゃよ、

『d^6がaを割り切る』てなぁつまり、『aがd^6を因数に持つ』

てことが判るよな?

んで、このよーなdがd=1のみっつーことは、要するに

『全ての素数pについて、aはp^6を因数にもたねー』

てことな!

んな感じで言い換えながら考察してきゃ、一見して意味不明に思える条件の使い方も余裕で解ってくる筈だw

以上!

これにてヤンキー証明終わりwwww

パラパ パラパラ パラパパパ~♪♪♪


No.3 16/06/14 18:32
大学生0 

解りやすい回答ありがとうございます。
ぎゃりーさんの模範解答のような綺麗に纏まった解答のおかげで、もやもやが晴れました。
高木ブーの謎の表現には、意味も解らず思わず吹いてしまいましたがね。(笑)
 
度々見掛けては、要点をピンポイントに絞り巧くまとめ上げるセンス(?)に、毎回驚かされてました。
自分は数学のセンスがいまいちなので…。
今回の自分の質問にもヒントだけでなく、解りやすく回答まで頂き、そのお陰でしっかりと理解できました。

色々な問題に躓いてはその度投げ出してを繰り返し、苦手なものから目を反らしていましたが、これからはそうならないよう、自分を磨いていきます。ありがとうございました。

No.4 16/06/15 01:00
匿名4 

なるほどね😋



証明の行程抜きで、超簡略化して(3)だけを解くと、

「3a=b^3,5a=c^2」が成立していて、a,b,cが自然数の場合、a,b,cは

a=3^2・5^3・d^6
b=3・5・d^2
c=3・5^2・d^3
(注:dは素数に限定しない)

このように表せる事になります。
bとcが自然数なら、aは「3を掛けた時に立方数になり、5を掛けた時に平方数になる数」というわけですが……これを満たすには最低限、aの因数に3^2と5^3が同時に含まれていないといけません。(※)
逆に言えば、これが含まれていれば、bとcは上記の式で示されるような自然数となり、うまく条件を満たします。

これを踏まえた上で、「d^6がaを割り切るような自然数dはd=1に限る」という条件から、d=1となり、

a=3^2・5^3=1125

と、なります。



慣れていれば、(3)は直感で解けますが……ただ、直感を証明するための技術も、やはり重要ですね😓
(※)の結論は私の直感で導き出した物であり、「証明しろ」と言われたら困っていたかも😅

投稿順
新着順
主のみ
付箋
このスレに返信する

ふとした疑問掲示板のスレ一覧

ふとした疑問、普段気になっていたことなどをみんなで話そう❗

  • レス新
  • 人気
  • スレ新
  • レス少
新しくスレを作成する

サブ掲示板

注目の話題

カテゴリ一覧